深圳一对一家教：浅谈高中数学概念的教学方法
1 多角度剖析高中数学的定义
学习一个定义, 教师应指导学生养成剖析定义的习惯, 要引导学生认真阅读课本,逐字逐句推敲,结合定义的形成过程,明确定义的本质属性。
1. 1 从图形、文字叙述、数学式子剖析定义
以立体几何“二面角的平面角”的教学为例,对该定义可从“图形画出” 、 “文字叙述” 、 “式子表示”三个方面进行教学, 只有理解并熟习三个角度表达,才能完整全面认识这个定义,同时还要从二面角的平面角入手,进一步剖析。可以发现: ( 1) 在二面角α -l-β 的棱上取一点O, O 的位置可以是任意的; ( 2) 由等角定理要知平面角的大小与点O 的位置无关,是二面角大小本身确定; ( 3) 二面角的棱 l垂直于平面角确定的平面。
1. 2 从位置、数量的大小关系剖析定义如椭圆方程 x2/a2 +y2/b2 =1这一类的定义, 在教学过程中, 应引导学生从中心定在坐标原点, 焦点定在 x轴上的椭圆; 标准方程x2/a2 +y2/b2 =1 中的两个分母一定有a2>b2; a 、b 、c三者的关系c2=a2-b2等三个角度去剖析椭圆的标准方程定义。 使学生能较好理解焦点在 x 轴上和焦点在y 轴上的两类椭圆标准方程的特征, 在解已知椭圆的几何条件求椭圆标准方程时, 用待定系数法求方程时, 就明确标准方程的形式了。
加强定义多方位认知,由表及里剖析,能激发学生的学习兴趣,使学生积极主动地去思考得出概念的过程,这样,既有利于学生掌握定义的本质,又能较好地发展学生的逻辑思维、发散思维能力,提高分析问题和解决问题的能力。
2 明确定义的基本属性, 扩展定义的外延
对于一个定义教学, 不仅要求学生掌握其本身的内涵, 还要引导学生从定义本身出发,掌握必要的一些性质,也就是拓展定义的外延。
2. 1 明确属性
在高一学习的“函数” 这个概念时,是建立在映射知识的基础上给出的。 其中, 要学生明确函数的定义域、值域、对应法则、相应函数图像都应该说是“函数” 这个概念的基本属性,是映射概念里本身已具备,因此是“函数” 本身固有的, 这样在导论中学阶段的五种基本函数(即幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数) 时, 可以从这些函数的定义出发, 强化这些函数的定义域、值域、对应法则、相应函数图像。 例如,判断在实数集与实数集之间, 式子y =x2x能构成函数吗?事实上,当 x =0时,没有确定的y 值与之对应,这与映射定义里 x取“任何值”,通过对应法则, y有“唯一确定”的值与之对应显然不符。 所以式子y =x2x不能构成从实数集到实数集的函数。 给学生讨论这样的问题,就能使学生深刻地领会函数这个定义的本质属性。
2. 2 扩展外延
从函数固有的基本属性还要展开讨论函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质, 引导学生扩展这些性质有助于学生对函数这一概念的深入理解,这样学生比较容易理解和接受函数这一概念,这对培养学生严谨的数
学思维是有好处的。 例如在“反函数” 这个定义的教学中, 可以从复习一对一的映射入手,结合具体函数讲清反函数的概念,明确反函数定义域、值域、对应法则及其图像,接着可以进一步延伸,引导学生探索: ( 1) 函数 y =
f ( x ) 及反函数 y =f- 1( x ) 的定义域与值域的互逆关系; ( 2) 函数y =f ( x ) 及反函数 y =f- 1( x ) 的图像关于直线y =x 对称关系; ( 3) 函数y =f ( x ) 及反函数y =f- 1( x ) 同为增函数或同为减函数的关系; ( 4) 函数
y =f ( x )是奇函数,则反函数y =f- 1( x )也是奇函数; 函数y =f ( x ) 是非奇非偶函数,则反函数y =f- 1( x )也是非奇非偶函数; ( 5) 只有一对一的函数或单调区间上的函数才存在反函数。 通过对定义的外延的拓展, 把定义和它的基本性质有机地结合起来, 对学生思考、分析、解答与定义有关的问题,显然是大有帮助的。
3 强化定义的逆向分析及否定分析
凡是定义都应看作命题来理解,利用命题的各种关系来帮助理解、分析定义, 有助于培养学生逻辑思维能力,在解题中准确、清晰、有条理地进行表述。
3. 1 强化逆向分析
大多定义都是充要命题, 但大多数学生在学习定义时, 往往只注意定义的充分性, 而对定义的必要性重视不够,因而常常在应用定义解题时,思路闭塞,逻辑混乱。 教师在教学过程中, 应有意识地培养学生逆向思维活动的能力,强化定义的逆向分析。 如已知关于 x 的方程x2-( 6 +i ) x +ai =0( a ∈ R ) 有实根b,求 a 与b 的值。 解答时,利用“方程的根的概念”,因为b是方程的根,则b满足方程,用b 代入等式整理, 得到复数等于0, 再次利用“复数相等的概念”, 可列出实部也等于0且虚部也等于0的方程组求得a 与b 的值。 这道题目的教学, 两次引导学生利用定义的必要性,这对培养学生逆向思维能力,提高整体的思维品质是大有好处的。
3. 2 强化否定分析
对定义教学仅重视到定义的充要关系还是不够的, 2000 年全国高考数学试题第 19 题: 设函数 f ( x ) =x2+1 -ax , 其中, a >0。 求a 的取值范围,使函数 f ( x ) 在区间[ 0, +∞) 上是单调函数。 本题用(严格) 单调函数的定义推理, 设0<x1 <x="" 2,当="" a="" ≥1时,可证="" f="" (="" x="" 2)="" <f="" x1)="" ,所以函数="" )="" 在区间[="" 0,="" +∞)="" 上是减函数;="" 当0="" <a="" <1,在区间[="" 上存在两点="" 1="0," 2="2a1" -a2="" 时,可以验证="" 1)="" 上不是(严格)="" 单调函数。="" 这里不仅考查“函数单调性”这个定义的正面推理,="" 还同时考查“函数单调性”="" 这个定义的否定推理。教师在教学过程中,="" 要善于把数学概念看作数学命题,="" 精心设计一些题型,="" 剖析数学命题的逆否关系,从而使学生更深刻理解数学概念,="" 有利于培养学生严密的逻辑思维能力。
4 在区别、类比中复习和巩固定义
学习一个新定义之后,要及时进行巩固复习。 教师应精心选编一组直接应用定义的问答题、选择题、判断题、计算题,要求学生紧扣定义,用准确的数学语言去解答, 及时从作业中发现问题, 纠正错误,以加深学生对定义的理解。
4. 1 在区别中巩固定义
在中学数学里, 有许多定义很容易混淆, 以致在解题时思路混乱,分析不清,盗用定义。例如, 从1 到 9 的九个数字中任取得3 个数按大到小排成一列,那么可以组成不同数列的方法数为多少? 这里有大部分学生从“按大到小”有顺序这一条件, 于是认为方法数就有P39, 这里显然是错误的,事实上, 每三个数的一个组合对应一个按大到小的一个排列,属于组合问题,应该是C39 。导致错误的原因是审题不清楚, 加上对排列与组合的定义分不清,没有从本质上区别这两个概念,只停留在表面上的理解,总认为有顺序就是排列问题,为此教师在排列与组合教学结束后,应组织类似上面的例子,从所取的元素是否与顺序有关来严格区别排列和组合的概念。类似这些定义, 在中学数学里如平面上两点距离与球面上两点距离、椭圆的两种标准方程、双线的两种标准方程、抛物线的四种标准方程都需要严格区别它们的定义。通过严格的区别, 明确它们的联系和差异,防止产生概念之间的相互干扰,混淆不清。
4. 2 在类比中巩固定义
学完一章知识后,教师可通过复习课的形式, 把本章中相近的定义,或是与原来学过的相近的定义, 如函数中的幂、指数、对数、三角、反三角五类函数,数列中等差数列与等比数列, 无理不等式和对数不等式的解法, 立体几何中的柱、锥、台的表面积与体积等都可以用类比的方法,通过列表对比的办法,定义之间有关同类知识加以总结比较,并配给这些定义有关的例题、练习题、习题加以归类练习,总结出通法通解的类型题。例如, 解下列不等式( 1) 3 x +1 <1 , ( 2) lg( 2-x ) <2在解答上面无理不等式 3 x +1 <1时,总有一部分学生直接将不等式两边平方化为3 x +1 <1, 由此得x <0。类似地,在解答上面对数不等式lg ( 2-x ) <2, 总有一部分学生直接将不等式化为2 -x <102,从而得到x >-98。上面的这两道题的解法显然都有错误,错误的原因就是没有明确二次根式和对数式的定义,忽略了二次根式的被开方数大于或等于零和对数式的真数大于零的条件。通过这些类比示例的错误剖析,使学生懂得举一反三、触类旁通,加深对定义的理解和巩固。
